Как определить токи в ветвях цепи

Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

Электрические цепи постоянного тока   ТОЭЭ   ТЭЦ  

Elektrotechnik fuer Grundlagen der Elektronik

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Рис. 4.1

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:

    (4.1)

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n — 1.

Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.

       (4.2)

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.
Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

       (4.3)

       Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме.
Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11 и I22 — контурные токи.

Рис. 4.2

Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.
В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

     (4.4)

     (4.5)

 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура.
Собственные сопротивления контуров схемы

,     .

    Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

,

  где R12 — общее сопротивление между первым и вторым контурами; R21 — общее сопротивление между вторым и первым контурами. E11 = E1 и E22 = E2 — контурные ЭДС.

В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

,

.

       Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс». Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения (4.4) и (4.

5) совместно, определим контурные токи I11 и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным.

Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви.

        В схеме на Рис. 4.2.

Рекомендации

Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам.

Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против). Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.

Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла.

Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ4 = 0.

Рис. 4.3

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

    (4.6)

    В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

,

     где — проводимость первой ветви.

,

      где — проводимость второй ветви.

  Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

    (4.7)

    где g11 = g1 + g2 — собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле. g12 = g2 — общая проводимость между узлами 1 и 2.

Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

      —

сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1. Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус».

По аналогии запишем для узла 2:

    (4.8)

для узла 3:

    (4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы ?1, ?2, ?3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.
Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Замечание

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

Метод двух узлов

Рис. 4.4

Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем
равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

,

,

где  , , —

проводимости ветвей.

В общем виде:

.

     В знаменателе формулы — сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе — алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс», если она направлена к узлу 1, и со знаком «минус», если направлена от узла 1.
После вычисления величины потенциала ?1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

Метод эквивалентного генератора

Этот метод используется тогда, когда надо определить ток только в одной ветви сложной схемы. Чтобы разобраться с методом эквивалентного генератора, ознакомимся сначала с понятием «двухполюсник».

Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными. На рис. 4.5 показано условное обозначение активного двухполюсника.

Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными. На эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом — внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх. На рис. 4.6 условно изображен пассивный двухполюсник и его эквивалентная схема.

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Входное сопротивление пассивного двухполюсника можно измерить. Если известна схема пассивного двухполюсника, входное сопротивление его можно определить, свернув схему относительно заданных зажимов. Дана электрическая цепь. Необходимо определить ток I1 в ветви с сопротивлением R1 в этой цепи. Выделим эту ветвь, а оставшуюся часть схемы заменим активным двухполюсником (рис. 4.7).

Согласно теореме об активном двухполюснике, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором (источником напряжения) с ЭДС, равным напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению того же двухполюсника, из схемы которого исключены все источники (рис. 4.8).

Искомый ток I1 определится по формуле:

     (4.10)

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Параметры эквивалентного генератора (напряжение холостого хода и входное сопротивление) можно определить экспериментально или расчетным путем.
Ниже показан способ вычисления этих параметров расчетным путем в схеме на рис. 4.2. Изобразим на рис. 4.

9 схему, предназначенную для определения напряжения холостого хода. В этой схеме ветвь с сопротивлением R1 разорвана, это сопротивление удалено из схемы. На разомкнутых зажимах появляется напряжение холостого хода.

Для определения этого напряжения составим уравнение для первого контура по второму закону Кирхгофа

,

откуда находим

,     (4.11)

        где определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для второго контура

.     (4.12)

    Так как первая ветвь разорвана, ЭДС Е1 не создает ток. Падение напряжения на сопротивлении Rвн1 отсутствует.
На рис. 4.10 изображена схема, предназначенная для определения входного сопротивления.

.

  Рис. 4.9           Рис. 4.10

Источник: http://bourabai.ru/toe/main4.htm

Рассчитать токи во всех ветвях электрической цепи

Срок выполнения	от 1 дня
Цена	от 100 руб./задача
Предоплата	50 %
Кто будет выполнять?	преподаватель или аспирант

УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ РАБОТЫТеоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических (например, сварочное производство).

На этой дисциплине основываются все спец. предметы электриков. Несмотря на большой объем дисциплины и кажущуюся сложность, она основана всего на нескольких законах. В этой статье я постараюсь рассмотреть решение основных задач, встречающихся в данном курсе.

Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока

В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи.
 

Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом.Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла.

Для данного рисунка имеем:I1 + I2 + I4 = I3 + I5.

Второй закон Кирхгофа.Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным).

Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома):-I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура).I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает).

Теперь запишем ЭДС:E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура).

В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС:-I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3.

Как видите, все довольно просто.
 

В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями.
 

Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение).
 

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно): 
 

По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов): 
 

Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом:
 

Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”).MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом.

Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко.
 

Переменный ток

Переменный синусоидальный ток (или напряжение) задается уравнением:

Здесь Im – амплитуда тока.ω – угловая частота, находится как ω = 2⋅π⋅f (обычно в условии задается либо f, либо ω)φ – фаза.

Обычно в задачах условия задают либо в таком формате, либо в действующем значении. Амплитудное больше действующего всегда в √2 раз. Если в условии задано просто значение (например, E1 = 220 В), то это значит, что дано действующее значение.
 

Если же в условии дано «250⋅sin(314t – 15°), В», то его нужно перевести в действующее комплексное значение.
 

Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте.
 

Для перевода величин к действующим необходимо: 

,

Точечка над I означает, что это комплекс.
 

Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».
 

Для заданного напряжения имеем: 
 

В решении задач обычно оперируют действующими значениями.
 

В переменном токе вводятся новые элементы:

Катушка индуктивности	L – [Гн]
Конденсатор [емкость]	С – [Ф]

Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как:

(сопротивление конденсатора — отрицательное)

Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы:
 

Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление. Комплексное сопротивление находится как:

Напряжение делим на сопротивление и получаем ток.
 

Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:

1. Деление удобно производить в показательной форме.
2. Сложение и вычитание – в алгебраической.
3. Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).

Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током.
 

Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме).

Также мощность можно найти и по другой формуле:

В этой формуле — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс).Re – означает действительная часть (та, что без j).

Реактивная мощность цепи:

Im – мнимая часть комплексного числа (та, что с j).
 

Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи:

Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов.
 

  Как рассчитать гасящее сопротивление?

Метод контурных токов (МКТ)

Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:

1. Выделяем независимые контуры (их должно быть столько, чтоб охватить все неизвестные токи). Контурные токи обычно называют I11, I22 и т.д.

2. Определяем контурные сопротивления (сумма сопротивлений вдоль контура):

   Далее определяются общие контурные сопротивления (те, что относятся одновременно к 2 контурам), они берутся со знаком минус:

   Также определяем контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС вдоль контура):

3. Далее составляются уравнения (если имеем 4 контура, то система будет из 4 уравнений с 4 контурными токами в каждом, если из 5, то 5 и т.д.):

   Данная система легко решается методом Крамера. Также в сети есть много онлайн-калькуляторов.

4. Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях:I1 = I11 (в первой ветви протекает только контурный ток I11)I2 = I33 – I22 (направления контурного тока I33 совпадает с направлением I2, направление I22 – противоположно, поэтому берем со знаком минус)

   По аналогии находим остальные токи.

Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме.
 

Литература

Из литературы можно порекомендовать Бессонова Л.А. «Теоретические основы электротехники: Электрические цепи». Также много информации в интернете на сайтах, посвященных электротехнике. 

Решение электротехники на заказ

И помните, что наши решатели всегда готовы помочь Вам с ТОЭ. Подробнее.

Источник: https://1000eletric.com/rasschitat-toki-vo-vseh-vetvyah-elektricheskoy-tsepi/

Линейные цепи постоянного тока (стр. 5 )

Токи ветвей связи I1 === 6,23 A;

I2 === 4,61 A;

I0 === 9,12 A.

Токи ветвей дерева I3 = I0 – I1 = 9,12 – 6,23 = 2,89 A;

I4 = I0 – I2 = 9,12 – 4,605 = 4,52 A;

I5 = I2 – I1 = 4,605 – 6,23 = -1,63 A.

Баланс мощностей E×I0 =.

400×9,12 = 9,122×10 + 6,232×20 + 4,612×40 + 2,892×60 + 4,522×30 + 1,632×30,

SРГ = 3648 Вт; SРП = 3648 Вт.

Баланс мощностей сошёлся. Задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.16. Рассчитать токи во всех ветвях цепи, представленной на рис. 1.24, если:

E1 = 100 B, E2 = 50 B, r1 = r2 = 10 Ом, r3 = 20 Ом.

Ответы: I1 = 4 A; I2 = -1 A; I3 = 3 A.

ЗАДАЧА 1.17. В схеме рис. 1.25 определить токи во всех ветвях с применением законов Кирхгофа, если E1 = 100 B, E2 = 50 B, J = 5 A;

r1 = r2 = 10 Ом, r3 = 20 Ом.

Ответы: I1 = 6 A; I2 = 1 A; I3 = 2 A.

ЗАДАЧА 1.18. Определить токи по законам Кирхгофа в ветвях схемы (рис. 1.26) и проверить баланс мощностей, если: E1 = 120 B, E2 = 60 B, J = 4 A; r1 = r2 = 20 Ом, r3 = 5 Ом, r4 = 15 Ом.

Ответы: I1 = 2 A; I2 = -1 A; I3 = 1 A,

I4 = 5 A, P = 480 Bт.

ЗАДАЧА 1.19. Определить токи в ветвях мостовой схемы (рис. 1.27), если известны параметры цепи:

Е = 4,4 В, r1 = 20 Ом, r2 = 60 Ом, r3 = 120 Ом, r4 = 8 Ом, r5 = 44 Ом.

Ответы: I = 0,2 А; I1 = 0,156 А; I2 = 0,044 А;

I3 = 0,004 А; I4 = 0,16 A; I5 = 0,04 А.

1.4. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ)

Этот метод позволяет уменьшить число расчётных уравнений в системе уравнений Кирхгофа (N = NI + NII) до числа уравнений, записанных только по II закону Кирхгофа (до числа главных (независимых) контуров схемы).

Рекомендуемый порядок расчёта:

1). Составляется направленный граф электрической цепи и формируются независимые контуры. При этом ветви с известными токами (ветви с источниками тока) не могут быть ветвями дерева, а лишь ветвями связи.

2). Полагают, что в независимых контурах циркулируют контурные токи, направление которых совпадает с направлением токов ветвей связи. При этом часть контурных токов становятся известными в соответствии с п.1 данных рекомендаций.

3). Для контуров с неизвестными контурными токами составляются контурные уравнения по II закону Кирхгофа. Таким образом, количество уравнений по МКТ следующее: NМКТ = В – (У-1) – ВТ.

4). Решается система контурных уравнений.

5). Токи в ветвях определяют путём алгебраического суммирования контурных токов в соответствии с принципом наложения.

6). Проверка выполняется составлением баланса мощностей или расчётом токов иным методом.

ЗАДАЧА 1.20. Для схемы рис. 1.16 известны: E1 = 120 B, E4 = 80 B, E5 = 6 B, r1 = r3 = r5 = 2 Ом, r2 = r4 = 6 Ом, r6 = 3 Ом, а также измеренный ток I4 = 8 A. Найти остальные токи методом контурных токов (МКТ) и проверить баланс мощностей.

Контурные уравнения для контуров:

I1×(r1 + r2) – I5×r2 = E1,

I5×(r5 + r3 + r6 + r2) – I1×r2 + I4×r3 = —E5.

откуда 8,5×I5 = 68; I5 = 8 A; I1 = 21 A

I2 = I1 – I5 = 21 – 8 = 13 A; I6 = I5 = 8 A; I3 = I5 + I4 = 8 + 8 = 16 A.

Уравнение баланса мощностей

E1×I1 – E5×I5 + E4×I4 = I12×r1 + I22×r2 + I32×r3 + I42×r4 + I52×r5 + I62×r6,

120×21 – 6×8 + 80×8 = 212×2 + 132×6 + 162×2 + 82×6 + 82×2 + 82×3,

3112 Вт = 3112 Вт.

Баланс мощностей сошёлся, задача решена верно

ЗАДАЧА 1.21. Параметры схемы рис. 1.29,а заданы:

J1 = 4 A, E1 = 160 B, E2 = 100 B, E5 = 12 B, E6 = 60 B,

r1 = 50 Ом, r3 = 40 Ом, r4 = 60 Ом, r5 = 30 Ом, r6 = 20 Ом.

Рассчитать токи МКТ.

Решение

Произвольно выбранные направления токов в ветвях схемы указаны на рис. 1.29,а (по постановке задачи 1.21 этих направлений нет). Обращаем внимание на наличие в схеме двух идеальных (особых) ветвей.

https://www.youtube.com/watch?v=bR_cJDOMjxo

Первая содержит источник тока J1, который не зависит от параметров цепи E1, E2, r1, r3, E5, E6 и т. д. Для нормальной работы источника тока требуется единственное: наличие пути для замыкания тока при любых преобразованиях схемы или её изменениях путём отключения части ветвей или подключения новых ветвей.

Сопротивление первой ветви rв1 = r1 + rИТ = 50 + ¥ = ¥, где rИТ = ¥ — теоретическое значение внутреннего сопротивления идеализированного источника энергии, называемого источником тока,

проводимость этой ветви gв1 === 0.

Вторая ветвь схемы содержит только идеализированный источник ЭДС с внутренним сопротивлением rЭДС = 0, поэтому сопротивление второй ветви rв2 = 0, а проводимость gв2 == ¥.

Ранее было сказано, что ветвь с источником тока обязательно должна быть ветвью связи, что учтено при составлении графа схемы рис. 1.29,б.

Так как при использовании МКТ в контурных уравнениях появляются слагаемые ±I×r, где r – сопротивления общей между контурами ветви, то имеет практический смысл включить ветвь только с идеальным источником ЭДС в число ветвей дерева, когда произведение I×r = 0, так как r = 0. Это также учтено при составлении графа схемы.

Таким образом, для приведенной схемы получено 3 контурных тока, один из которых замыкается по ветвям 1-6-5 и равен току источника тока II = J1 = 4 A.

Второй контурный ток III = I3 замыкается по ветвям 3-2-5-6 и неизвес-тен. Третий контурный ток IIII = I4, замыкающийся по ветвям 4-2-5, также неизвестен.

Контурные уравнения для неизвестных контурных токов (с учётом r2=0)

III×(r3 + r5 + r6 ) + IIII×r5 – J1×(r6 + r5 ) = —E2 – E5 + E6,

IIII×(r4 + r5) + III×r5 – J1×r5 = —E2 – E5.

С числовыми значениями:

90×III + 30×IIII = 40,

30×III + 90×IIII = -100, откуда 240×III = 220, III = 0,917 A, IIII = -1,417 A.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Источник: https://pandia.ru/text/80/087/58457-5.php

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю. Согласно этому закону, если к некоторому узлу цепи подсоединено n ветвей с токами i1, i2, , in, то в любой момент времени

,

где , если направление тока положительно и ориентировано от узла (ток выходит из узла), или , если ток входит в узел. Таким образом, любому узлу цепи соответствует уравнение, связывающее токи в ветвях цепи, соединенных с данным узлом.

В качестве примера приведем схему на рисунке 1.

Рис.1.

В соответствии с первым законом Кирхгофа:

.

Общее число уравнений, которое можно составить по первому закону Кирхгофа для цепи, равно числу узлов цепи .

Так, для четырех узлов графа (рисунок 2) можно составить следующие четыре уравнения:

Рис.2.

узел 1: ,

узел 2: ,

узел 3: ,

узел 4: .

Первый закон Кирхгофа часто называют законом Кирхгофа для токов и сокращенно в тексте обозначают ЗКТ.

Число независимых уравнений равно трем, так как любое из этих уравнений отличается от суммы трех остальных только знаком. Итак, если цепь содержит узлов, то для неё можно составить по первому закону Кирхгофа независимых уравнений. Совокупность из N узлов цепи, уравнения для которых образуют систему линейно независимых уравнений, называют совокупностью независимых узлов цепи.

Примеры на применение первого закона Кирхгофа. Параллельное соединение элементов

В качестве примера на применение первого закона Кирхгофа рассмотрим параллельное соединение нескольких элементов активных сопротивлений, конденсаторов, катушек индуктивности.

Особенностью параллельного соединения нескольких элементов является равенство напряжений, приложенных к зажимам любого из элементов, входящих в соединение. Цепь при таком соединении характеризуется только одним независимым узлом.

Пусть параллельно соединены n элементов активного сопротивления. Если выбрать направления отчетов токов в элементах такими как это показано на рисунке 3, то согласно первому закону Кирхгоффа при параллельном соединении элементов запишем:

Рис.3.

;

учитывая, что , имеем ,

где .

Зависимость не отличается от зависимости между напряжением на зажимах и током в элементе активного сопротивления с проводимостью G. Следовательно, цепь, составленная из нескольких сопротивлении, включенных параллельно, может быть заменена одним активным сопротивлением, при этом проводимость эквивалентного элемента равна сумме проводимостей элементов, входящих в соединение.

При параллельном соединении конденсаторов (рисунок 4) ток ветви можно определить по формуле: .

Рис.4.

Для вычисления общего тока необходимо просуммировать токи ветвей:

,

где ..

Таким образом, при параллельном соединении нескольких конденсаторов эквивалентная ёмкость равна сумме емкостей, входящих в соединение.

В случае параллельного соединения катушек индуктивностей (рисунок 5)

ток каждой из ветвей равен: .

Рис.5.

Уравнение для вычисления общего тока имеет вид:

.

Следовательно , то есть .

Это означает, что значение эквивалентной индуктивности будит меньше наименьшего из значений соединённых параллельно индуктивностей.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре цепи тождественно равна нулю. Для замкнутого контура, изображённого на рисунке 6, можно записать соотношение:

.

Рис.6.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа при обходе контура по часовой стрелке справедливо соотношение:

.

Изменение направления обхода эквивалентно изменению знаков напряжений на противоположные (умножению на минус единицу).

Примеры на применение второго закона Кирхгофа

Последовательное соединение элементов

Пусть n элементов активного сопротивления соединены последовательно (рисунок 7).

Рис.7.

В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:

.

характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.

При запишем:

, то есть .

Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.

При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок можно записать:

.

Рис.8.

Если , то ,

следовательно .

Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.

В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:

.

Рис.9.

Заменяя получим: .

Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:

.

При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.

Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа

Пример 1

Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит = 4 узлов и= 6 ветвей, включая источники напряжения.

Рис.10.

Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи.

Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить уравнений относительно токов в ветвях цепи.

По второму закону Кирхгофа будет линейно-независимых уравнений для напряжений ветвей схемы.

Совокупность из уравнений по первому закону Кирхгофа, и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, образует систему линейно – независимых уравнений. Эта система будет неоднородной системой уравнений, так как ее свободными членами являются заданные напряжения источников.

Подобная система уравнений имеет единственное решение, позволяющее найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений между любой парой узлов цепи.

Для примера составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа (рисунок 10).

Число уравнений: .

Узел 1: ,

узел 2: ,

узел 3: .

В тоже время по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III можно составить систему из уравнений.

.

Контур I: ,

контур II: ,

контур III: .

Таким образом, решая систему из 6 уравнений с шестью неизвестными токами, например по методу Крамера, определим неизвестные. Если в цепи будет источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а ток через источник будет равен току задающего источника. Общее число неизвестных сохранится прежним.

Пример 2

Для цепи (рисунок 11) определить токи и , если E = 20 В, I = 2 A, R1 = 15 Ом, R2= 85 Ом.

Рис.11.

Решение

Выберем направления токов ,и обхода в контуре, составим уравнения по законам Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:

.

Число уравнений по второму закону Кирхгофа:

.

Уравнение токов для узла 1:

. (a)

Уравнение по второму закону Кирхгофа:

. (б)

Подставим в уравнения (а) и (б) числовые значения получим:

,

.

Решив эту систему, определим токи и :

; .

Литература

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.

4. В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000

Источник: http://reshebniki-online.com/node/81141

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n  — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

https://www.youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6. 

2.Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом

R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом

R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R12=R21=R4=25 Ом

R23=R32=R6=35 Ом

R31=R13=R5=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному. 

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода. 

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных 

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем — Метод двух узлов

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4.50 (268 Голоса)

Источник: https://electroandi.ru/toe/metod/metod-konturnykh-tokov-reshenie-zadach.html

Решение задач по электротехнике (ТОЭ)

Срок выполнения	от 1 дня
Цена	от 100 руб./задача
Предоплата	50 %
Кто будет выполнять?	преподаватель или аспирант

УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ РАБОТЫТеоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических (например, сварочное производство). На этой дисциплине основываются все спец. предметы электриков. Несмотря на большой объем дисциплины и кажущуюся сложность, она основана всего на нескольких законах. В этой статье я постараюсь рассмотреть решение основных задач, встречающихся в данном курсе.

Методы расчета электрических цепей

Для правильного расчета напряжения, тока и мощности на определенных участках электрических цепей используют различные методы. Среди них выделяют:

• метод контурных токов;
• метод преобразования цепи;
• метод применения на практике законов Кирхгофа;
• метод наложения;
• метод эквивалентного генератора.

Наиболее распространенными в практике для решения поставленных задач является метод преобразования цепи и метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

Метод преобразования электрической цепи

Суть данного метода заключается в правильном расчете распределения токов в электрической цепи. При включенных параллельно или последовательно нескольких сопротивлений можно сделать замену одним сопротивлением. Тогда распределение тока в изучаемой цепи не будет меняться.

При последовательном соединении резисторов сопротивление окажутся подключенными таким образом, что начало последующего сопротивления присоединится к концу предыдущего сопротивления. В этом случае ток во всех соединенных последовательным образом элементах будет иметь одинаковые значения.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Любая электрическая цепь содержит:

• приемники электроэнергии;
• источники электроэнергии.

Связь между ними осуществляется проводами. Это обеспечивает процесс протекания токов по элементам цепи. Существует два типа источников:

• источники напряжения;
• источники тока.

Идеальный источник напряжения может поддерживать в неизменном виде определенное значение напряжения в своих зажимах. Это происходит независимо от тока, который отдается в нагрузку. Внутреннее сопротивление равняется нулю.

Идеальный источник тока может обеспечить постоянное значение тока, который отдается в нагрузку. Это происходит независимо от создаваемого напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление источника тока будет бесконечно большим.

Метод применения законов Кирхгофа

Токи и напряжения в любой электрической цепи подчиняются законам Кирхгофа. Это не зависит от формы и мощности сигналов, которые передают источники питания. Кроме источников питания цепь обладает резистивными элементами.

Первый закон Кирхгофа можно представить в виде алгебраической суммы всех токов, которые сходятся в одном узле цепи. Она будет равна нулю.

$\sum{i{k}{t}}=0$

При этом положительные направления токов в каждой ветви цепи имеют произвольные значения. Токи, которые направлены к узлу, принимают отрицательные значения. Токи, которые направлены от узла, принимают положительные значения.

При записи уравнения, которое характеризует метод, изучается сложная цепь. Она состоит из ветвей ($NB$), объединенных в узлы ($NY$) и ветви с источниками тока ($NJ$). В такой цепи есть резистивные элементы, источники тока, источники электродвижущей силы.

При анализе цепи на основании закона Кирхгофа можно определить число неизвестных токов, указать положительное направление тока в каждой ветви цепи, а также составить ряд независимых уравнений.

Вид и число уравнений, которые следует составить для полного описания физических процессов в цепи, в том числе для определения токов и напряжений, зависит от способа соединения ветвей цепи и их типа. Структуру цепи, которую определяют способом соединения ветвей, анализируют, отходя от привычного содержания каждой ветви.

Для этого используется топологический граф схемы цепи. При изображении ветвей графа различают, к какому типу ветви она приходит на замену. При составлении расчетов принято изображать первый тип в виде сплошной линии.

Для ветви второго типа, в которой значение тока определяется самим источником тока, используется пунктирная линия.

Ветви графа $NB$ и узлы $NY$ нумеруют также, как и номера ветвей схемы и узлов исходной цепи. Ориентация ветвей графа будет соответствовать направлениям напряжений и токов исходной цепи.

В канонической ветви первого типа напряжение и ток выбираются всегда по направлению, которые совпадают между собой, поэтому они ориентируется на ветвь графа. Вырожденной ветвью называется та, где содержится только источник напряжения.

Ее ориентация в графе производится по напряжению источника и направляется против действия электродвижущей силы.

Анализ топологического графа принято начинать с выделения ветвей дерева графа ($N_Д$) и ветвей связи ($NC$). Все ветви дерева образуют связный подграф. Он объединяет все узлы, где нет замкнутого контура. Выбор ветвей дерева осуществляется в произвольном порядке. В него не могут включать ветви графа, которые замещают источники тока.

Определение 1

Ветви связи являются дополнением к ветвям дерева. Присоединение новой ветви связи к существующим ветвям дерева формирует замкнутый контур. Он называется главным контуром.

Число независимых уравнений $N_1$, которые могут быть составлены по первому закону Кирхгофа, должны соответствовать числу ветвей дерева $N_Д$. Иными словами, определяется числом узлов без единицы:

$N_1 = N_Д = NY – 1$

Число уравнений $N_2$, которые добавляются по второму закону Кирхгофа, определяется следующим соотношением величин в электрической цепи:

$N_2 = N_Н — N_Д = (NB — NJ) — N_1 = NB — NJ — NY + 1$

В этом уравнении $N_Н — N_Д = (NB — NJ)$ – количество ветвей с неизвестными токами, а $NJ$ – это количество ветвей, где известны источники тока.

К системе, которая состоит из $N_Н = (N_1+ N_2)$ добавляют уравнения, связывающие напряжение и ток в каждой отдельной ветви. Их называют компонентными уравнениями.

Иные методы расчета

Также используют другие методы расчета электрических цепей.

Метод узловых потенциалов позволяет сократить порядок системы для расчета электротехнических схем. Такой способ состоит в нахождении потенциалов всех узлов схемы, а также по известным потенциалам токов во всех ветвях. Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа.

Метод контурных токов основан на введении дополнительных величин контурных токов. Они должны удовлетворять первому закону Кирхгофа.

Метод эквивалентного генератора применяется при определении токов в одной или нескольких ветвях. Этот метод еще называют теоремой об активном двухполюснике.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/metody_rascheta_elektricheskih_cepey/

Пример решения Линейные цепи постоянного тока

Дано: E1=16 В, Е2=8 В, E3=9 В, R01=0,2 Ом, R02=0,6 Ом, R1=2,5 Ом, R2=6 Ом, R3=6 Ом, R4= 5 Ом, R5=10 Ом, R6=5 Ом

Для линейной электрической цепи по заданным сопротивлениям и эдс выполнить следующее: 1)составить математическую модель заданной цепи 2)Определить токи во всех ветвях цепи методом контурных токов, 3) проверить правильность решения с помощью метода узлового напряжения, 4) определить величину тока в ветви с резистором R6 методом эквивалентного генератора, 5) составить баланс мощности для исходной электрической цепи, 6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура заданной электрической цепи

Решение:

Рисунок 1 — Исходная электрическая схема цепи

1 Система уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа

Схема имеет 4 узла: (m=4) и 6 ветвей (n=6). Составим m-1=4-1=3 уравнения по 2 закону Кирхгофа:

Составим n-(m-1)=6-(4-1)=3 уравнения по 2 закону Кирхгофа

2 Найдем токи с помощью метода контурных токов

Решим систему линейных уравнений с помощью метода Крамера:
Найдем токи в ветвях цепи

3 Найдем токи в цепи методом узловых напряжений

Произведем эквивалентную замену сопротивлений треугольник-звезда так, как показано на рисунке 2

Рисунок 2 — Схема замены сопротивлений треугольник-звезда

Схема приобретет вид, показанный на рисунке 3

Рисунок 3 — Электрическая схема цепи после замены сопротивлений треугольник-звезда

Найдем сопротивления эквивалентной звезды.
Найдем проводимости ветвей.
Узловое напряжение
Токи в ветвях
Найдем ток I4 , I5, I6 из математической модели Мощность источников: Мощность нагрузки: Разомкнем исходную цепь с током I6 , полученный активный двухполюсник представлен на рисунке 4

Рисунок 4 — Схема активного двухполюсника

Найдем проводимости ветвей.
Узловое напряжение
Токи в ветвях
Определим напряжение Uхх
Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора по схеме на рисунке 5

Рисунок 5 — Схема пассивного двухполюсника

Определим RВХ. Схема после эквивалентного преобразования сопротивлений треугольник-звезда представлена на рисунке 6

Рисунок 6 — Схема после преобразования сопротивлений треугольник — звезда

Определим сопротивления «звезды»
Ток в ветви с резистором R5 равен
представлено в таблице 1.

Таблица 1- Полученные значения токов

Источник: http://electro2000.ru/primer_1_1_12.htm