Период собственных электромагнитных колебаний формула. Электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур
Колебательный контур— это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Рис. 1.
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода: . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2).
Рис. 2.
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия. Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Рис. 3.
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4).
Рис. 4.
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Рис. 5.
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .
Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6).
Рис. 6.
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7).
Рис. 7.
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8).
Рис. 8.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9).
Рис. 9.
Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
Таким образом,
(1)
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):
(2)
Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
(3)
(4)
(5)
(6)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:
(7)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной class=»tex» alt=»(I > 0)»>, если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .
Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class=»tex» alt=»I > 0″>, то заряд левой пластины возрастает, и потому class=»tex» alt=»\dot{q} > 0″>.
Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
(8)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):
Подставляя сюда и , получим:
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
Перепишем это в виде:
(9)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
(10)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
(11)
Циклическая частота находится по формуле (10); амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :
(12)
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
(13)
Амплитуда силы тока равна:
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13).
А теперь посмотрите на рис. 8. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
запишем закон изменения тока (13) в виде:
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .
Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
Источник: https://totrdlo.ru/period-sobstvennyh-elektromagnitnyh-kolebanii-formula.html
Затухающие колебания в контуре и их уравнение
Определение 1
Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R, с емкостью конденсатора C, с катушкой индуктивности L, изображенный на рисунке 1. Колебания, происходящие в нем, — затухающие.
Рисунок 1
Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.
Характеристики затухающих колебаний
Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β. Применив второй закон Ньютона, получим:
ma=-kx-yv,d2xdt2+rmdxdt+kmx=0,ω02=km,β=r2m.
Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ,
Значение a (t) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а Ne — период времени уменьшения амплитуды в e раз.
Для RLC контура применима формула с ω частотой.
При небольшой δ≪1 говорят, что β≪ω0 ω0=1LC — собственная частота, отсюда ω≈ω0.
При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :
Q=1RLC=ω0LR, где R, L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω0- частота резонанса. Выражение LC называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:
Q=RLC=Rω0L.
R является входным сопротивлением параллельного контура.
Определение 2
Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:
Q=ω0WPd=2πf0WPd, называемое общей формулой.
Уравнения затухающих колебаний
Рассмотрим рисунок 1. Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:
Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektromagnitnye-kolebanija-volny/zatuhajuschie-kolebanija-v-konture/
Тест. Свободные электромагнитные колебания
Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!
Какой энергией обладает колебательный контур в моменты времени, представленный на рисунке?
Варианты ответов
- энергией электрического поля
- энергией магнитного поля
- только энергией магнитного поля
- энергией гравитационного поля
- только энергией электрического поля
Идеальный колебательный контур — цепь, состоящая из
Генератор и LC колебательный контур. Часть первая, вводная
Для начала разберемся что же такое генератор. Представим что генератор — это усилитель с «положительной обратной связью», или по другому, регенеративной обратной связью.
Это забавно, но у генераторов и усилителей одна и та же проблема : колебания генератора стремятся затухнуть, а усилитель — самовозбудиться и генерировать.
Генераторы являются самоподдерживающимися цепями, генерирующими периодический выходной сигнал на точной частоте, и для того, чтобы любая электронная схема работала в качестве генератора, она должна иметь следующие три характеристики:
- Есть некоторая форма усиления
- Есть положительная обратная связь (регенерация)
- Частота определяется цепью обратной связи
Усилитель с малой обратной связью, входящий в состав генератора, имеет коэффициент усиления равный или немного больший единицы для начала колебаний, но для продолжения колебаний средний коэффициент усиления контура должен всегда возвращаться к единице. То есть нарастание колебательной энергии должно превосходить потери.
В отличие от усилителя, для работы генератора не требуется внешний источник сигнала, он сам преобразует энергию источника постоянного тока в энергию переменного тока на требуемой частоте.
Резонанс
Как мы прочли выше реактивное сопротивление LC и RC цепей должно изменить как амплитуду, так и фазу выходного сигнала по сравнению с входным сигналом из-за реактивного сопротивления используемых компонентов.
На высоких частотах реактивное сопротивление конденсатора очень низкое, в то время как реактивное сопротивление индуктора высокое. На низких частотах верно обратное, реактивное сопротивление конденсатора стремится к бесконечности, а реактивное сопротивление индуктора стремится к нулю.
Между этими двумя крайностями комбинация индуктивности и конденсатора создает «резонансную» цепь, которая имеет резонансную частоту ( ƒr ), в которой емкостное и индуктивное сопротивления равны и компенсируют друг друга. Это означает, что фазовый сдвиг отсутствует, поскольку ток находится в фазе с напряжением.
Частота колебаний напряжения зависит от значения индуктивности и емкости в цепи LC-контура. Для возникновения резонанса в контуре должна быть точка частоты, где значение XC емкостного сопротивления такое же, как значение XL индуктивного сопротивления ( XL = XC ).
Цикл работы колебательного контура
колебательный контур
Цепь состоит из катушки индуктивности L и конденсатора C.
Конденсатор накапливает энергию в форме электростатического поля и создает потенциал ( статическое напряжение ) на своих пластинах, в то время как катушка индуктивности накапливает свою энергию в форме электромагнитного поля.
Когда переключатель в положении A, конденсатор заряжается до напряжения питания постоянного тока V. Когда конденсатор полностью заряжен, установим переключатель в положение B.
(a). Заряженный конденсатор теперь подключен параллельно к катушке индуктивности, поэтому конденсатор начинает разряжаться через катушку. Напряжение на C начинает падать, когда ток через катушку начинает расти.
(б) Этот возрастающий ток создает электромагнитное поле вокруг катушки, которое сопротивляется этому потоку тока. Когда конденсатор C полностью разряжается, энергия которая изначально хранилась в конденсаторе C в виде электростатического поля теперь сохраняется в катушке, L в виде электромагнитного поля вокруг обмоток катушек.
(в) Поскольку в цепи теперь нет внешнего напряжения для поддержания тока внутри катушки, оно начинает падать, и электромагнитное поле начинает ослабевать. В результате в катушке индуцируется обратная ЭДС, сохраняя ток в исходном направлении.
(г) Этот ток заряжает конденсатор с полярностью, противоположной его первоначальному заряду. Конденсатор продолжает заряжаться до тех пор, пока ток не уменьшится до нуля и электромагнитное поле катушки полностью не исчезнет.
(д) Энергия, первоначально введенная в цепь через переключатель, была возвращена конденсатору, который снова имеет потенциал электростатического напряжения на нем, хотя теперь он имеет противоположную полярность. Теперь конденсатор снова начинает разряжаться через катушку, и весь процесс повторяется. Полярность напряжения изменяется по мере того, как энергия передается между конденсатором и катушкой индуктивности, создавая синусоидальное колебания тока и напряжения.
Этот процесс является основой цепей осцилляторов LC, и теоретически эти циклические колебания будут продолжаться бесконечно. Тем не менее, в реальных (неидеальных) цепях каждый раз, когда энергия передается от конденсатора C к катушке индуктивности L и обратно от L к C, происходят потери энергии, которые со временем затухают колебания до нуля.
В практической LC- схеме амплитуда колебаний уменьшается на каждом полупериоде колебаний и в конечном итоге затухает до нуля. Так же говорят, что колебания «демпфируются», причем величина демпфирования определяется качеством или добротностью цепи.
Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Эта величина обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.
LC цепи обычно используются в радиочастотных цепях из-за их хороших характеристик фазового шума и простоты их реализации
Источник: https://vk.com/@hobbyelectronics-generator-i-lc-kolebatelnyi-kontur-chast-pervaya-vvodnaya
