Законы Кирхгофа для электрической цепи
Правильнее было бы говорить правила Кирхгофа для расчетов сложных электрических цепей постоянного тока. Электрическая цепь на практике может состоять из нескольких резисторов и источников тока. Такие цепи называют разветвленными. Уравнения позволяющие провести расчеты, например, сил токов, текущих в сопротивлениях, в любых сетях можно составить, воспользовавшись законом Ома и законом сохранения заряда.
Правила Кирхгофа являются следствиями вышеназванных законов и принципиально нового ни чего не привносят, однако, с их помощью можно упростить процедуру написания необходимых уравнений. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Одно правило называют правилом узлов, так как оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле.
Второе правило касается замкнутых контуров, которые можно выделить в сложной цепи.
Первый закон (правило) Кирхгофа
В электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников с токами, тогда такую точку цепи называют узлом (разветвлением). Учитывая, что сила тока алгебраическая величина для любого узла:
где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.
Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.
Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.
Второй закон (правило) Кирхгофа
Во втором правиле Кирхгофа рассматриваются замкнутые контуры, поэтому оно носит название правила контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:
Величины называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее.
Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника.
Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.
Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! |
Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/zakony-kirxgofa-dlya-elektricheskoj-cepi/
Первый и второй законы Кирхгофа — Основы электроники
В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов.
Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа.
Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.
Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.
Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.
Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.
Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.
Первый закон Кирхгофа
Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.
Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.
Рисунок 2. Узел электрической цепи.
Здесь ток I1— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:
I1 = I2 + I3 (1)
Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:
I1 — I2 — I3 = 0 (2)
Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.
Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).
Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.
Второй закон Кирхгофа
Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.
Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:
1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).
2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.
3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:
— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».
— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».
Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.
Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.
E1- Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2 (3)
Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).
Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа
Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.
Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.
Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.
Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:
I = I1 + I2,
так как I1 и I2 втекают в узел А, а ток I вытекает из него.
Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.
Для внешнего контура:
E1-E2 = Ur1 – Ur2 или E1-E2 = I1*r1 – I2*r2
Для внутреннего левого контура:
E1 = Ur1 + UR или E1 = I1*r1 + I*R
Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:
I = I1 + I2;
E1-E2 = I1*r1 – I2*r2;
E1 = I1*r1 + I*R.
Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:
I = I1 + I2;
7 = 0,1I1 – 0,1I2;
12 = 0,1I1 +2I.
Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2
I2=I — I1;
I2 = I1 – 70;
12 = 0,1I1 + 2I.
Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:
I — I1= I1 – 70;
12 = 0,1I1 + 2I.
Выражаем из первого уравнения значение I
I = 2I1– 70;
И подставляем его значение во второе уравнение
12 = 0,1I1 + 2(2I1 – 70).
Решаем полученное уравнение
12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.
12 + 140= 4,1I1
I1=152/4,1
I1=37,073 (А)
Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение
I1=37,073 (А) и получим:
I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А
Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1
I2=4,146 — 37,073 = -32,927
Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I2 вытекает из узла А.
Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.
Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.
Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.
Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:
Источник: http://www.sxemotehnika.ru/zhurnal/zakony-kirkhgofa.html
Электротехника Часть 5 Методы расчёта электрических цепей
Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассматривал типы соединений приемников энергии в электрических цепях, а так же законы Кирхгофа, которые определяют основные соотношения токов и напряжений в этих цепях.
Но кроме знания основных законов электротехники необходимо уметь рассчитывать неизвестные параметры электрических цепей по заданным известным параметрам.
Так, например, по известным напряжениям, ЭДС и сопротивлениям необходимо знать какую мощность будет потреблять тот или иной приемник энергии, а так же вся цепь в целом. Этим мы и займёмся в данной статье.
Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.
Расчёт электрических цепей с помощью законов Кирхгофа
Существует несколько методов расчёта электрических цепей, которые различаются между собой параметрами, которые необходимо найти, а так же количеством необходимых расчётов.
Вначале я расскажу, как произвести расчёт цепи в общем виде, но в результате размеры вычислений будут неоправданно большими. Данный метод расчёта основан на законах Ома и Кирхгофа и используется при расчётах небольших цепей с малым количеством контуров.
Для этого составляют систему уравнений из (q — 1) уравнений для узлов цепи и n уравнений для независимых контуров. Независимые контуры характеризуются тем, что при составлении уравнений для каждого нового контура входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущий контур.
Таким образом, количество уравнений в системе уравнений по данному методу расчёта цепи будет определяться следующим выражением
https://www.youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8
В качестве примера рассчитаем электрическую цепь, приведённую на рисунке ниже
Пример электрической цепи для расчёта по законам Ома и Кирхгофа.
В качестве примера возьмём следующие параметры схемы: E1 = 50 B, E2 = 30 B, R1 = R3 = 10 Ом, R2 = R5 = 20 Ом, R4 = 25 Ом.
- Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Так как узла у нас два, то выберем узел А и составим для него уравнение. Я выбрал условно, что токи I1 и I2 втекают в узел, а I3 – вытекает, тогда уравнение будет иметь вид
- Составим недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме у нас два независимых контура: E1R1R2R4E2R3 и E2R4R5, поэтому выбирая произвольное направление контуров составим недостающие два уравнения. Я выбрал обход по ходу часовой стрелке, поэтому уравнения имеют вид
Таким образом, получившаяся система уравнений будет иметь следующий вид
Решив данную систему, получим следующие результаты: I1 ≈ 0,564 А, I2 ≈ 0,103 А, I2 ≈ 0,667 А.
В результате решения системы уравнений по данному методу может оказаться, что токи получились отрицательными. Это значит, что действительное направление токов противоположно по направлению выбранному.
Метод контурных токов
Рассмотренный выше метод расчета электрических цепей при анализе больших и разветвленных цепей приводит к неоправданно трудоемким расчетам, поэтому редко применяется. Более широко используется метод контурных токов, позволяющий значительно сократить количество уравнений.
При этом вместо токов в ветвях электрической цепи определяются так называемые контурные токи при помощи второго закона Кирхгофа. Таким образом, количество требуемых уравнений будет равняться числу независимых контуров.
В качестве примера рассчитаем цепь изображённую на рисунке ниже
Расчет цепи методом контурных токов.
Если бы мы вели расчёт цепи по методу законов Ома и Кирхгофа, то необходимо было бы решить систему из пяти уравнений. Для расчёта по методу контурных токов необходимо всего три уравнения.
В начале расчёта выделяют независимые контуры, в нашем случае это: E1R1R2E2, E2R2R4E3R3 и E3R4R5. Затем контурам присваивают произвольно направленный контурный ток, который имеет одинаковое направление для всех участков выбранного контура, в нашем случае для первого контура контурный ток будет Ia, для второго – Ib, для третьего – Ic. Как видно из рисунка некоторые контурные токи соответствуют токам в ветвях
Остальные же токи можно найти как разность двух контурных токов
В результате выбора контурных токов можно составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа
Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений
В результате решения системы получим Ia = I1 = 4,286 А, Ib = I3 = 3,571 А, Ic = I5 = -0,714 А, I2 = -0,715 А, I4 = 4,285 А. Так же как и в предыдущем случае если токи получаются отрицательными, значит действительное направление противоположно принятому. Таким образом, токи I2 и I5 имеют направление противоположное изображённым на рисунке.
Метод узловых напряжений
Кроме метода контурных токов, для уменьшения трудоемкости расчётов, применяют метод узловых напряжений, при этом возможно еще меньшее число уравнений, так как при этом методе их число достигает
где q – количество узлов в электрической цепи.
Принцип расчёта электрической цепи заключается в следующем:
- Принимаем один из узлов цепи за базисный и присваиваем ему потенциал равный нулю;
- Для оставшихся узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, заменяя токи в ветвях по закону Ома через напряжение и сопротивление;
- После решения получившейся системы уравнений вычисляем токи в ветвях по обобщенному закону Ома.
В качестве примера возьмём предыдущую цепь и составим систему уравнений
Схема для решения уравнений методом узловых потенциалов.
В качестве базисного возьмём узел А и заземлим его, для остальных узлов B и D составим уравнения по первому закону Кирхгофа
Примем потенциалы узлов В = U1 и D = U2, тогда токи в ветвях выразятся через обобщённый закон Ома
В результате получившаяся система будет иметь следующий вид
Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений
В результате решения системы уравнений мы пришли к следующим результатам: потенциал в узле В – U1 = -57,14 В, а в узле D – U2 = 14,29 В. Теперь нетрудно посчитать, что токи в ветвях будут равны
Результат решения для токов I2 и I5 получился отрицательным, так как действительное направление токов противоположно направлению, изображённому на рисунке. Данные результаты совпадают с результатами, полученными для этой же схемы при расчёте по методу контурных токов.
Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.
Источник: http://www.electronicsblog.ru/nachinayushhim/elektrotexnika-chast-5-metody-raschyota-elektricheskix-cepej.html
