Как определить частоту колебаний

I. Механика

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Примеры резонанса

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Источник: http://fizmat.by/kursy/kolebanija_volny/kolebatelnoe

Электромагнитные колебания и волны — Технарь

Колебательный контур состоит из конденсатора с емкостью 48 мкФ и катушки с индуктивностью 24 МГн и активным со­противлением 20 Ом. Определить частоту свободных электромагнит­ных колебаний в этом контуре. Насколько изменится частота элек­тромагнитных колебаний в контуре, если пренебречь активным со­противлением катушки?

Дано: С=4,8*10-5 Ф — электроемкость конденсатора, L=2,4*10-2 Гн — индуктивность катушки, R=20 Ом — активное сопротивление катушки.

Найти: v1— частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре; ∆v=(v1—v2) — насколько изменится частота колебаний в контуре, если его активное сопротивление будет равно нулю.

Решение. Частоту колебаний можно найти из соотношения:

Находим частоту v1:Если сопротивление R равно нулю, то формула для периода колебаний примет вид:

Отсюда найдем период колебаний при R=0 и частоту колебаний v2, а затем ∆v.

Определяем частоту v2:

Вычисляем изменение частоты:

Ответ. Частота свободных колебаний в контуре 132 Гц; в идеальном случае, когда R=0, частота собственных колебаний в кон­туре на 16 Гц больше.

Пример

Определить длину электромагнитной волны в ваку­уме, на которую настроен колебательный контур, если максималь­ный заряд конденсатора 2,0*10-8 Кл, а максимальный ток в контуре 1,0 А.

Какова емкость конденсатора, если индуктивность контура 2,0*10-7 Гн? Какова энергия электрического поля конденсатора в тот момент, когда энергия магнитного поля составляет 3/4 от ее максимального значения? Определить напряжение на конденсаторе в этот момент. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: qм=2,0*10-8 Кл — максимальный заряд конденсатора, Iм=1,0 А — максимальный ток в контуре, L=2,0*10-7 Гн — индуктивность контура, R=0 — активное сопротивление контура, с =3*108 м/с — скорость распространения электромагнитных волн и вакууме.

Найти: λ — длину электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур; С — емкость конденсатора; Wэл — энергию электрического поля в тот момент, когда энергия магнит­ного поля составляет 3/4 от ее максимального значения; U— на­пряжение на конденсаторе в тот же момент времени.

Решение. Длина волны определяется по формуле:

λ=cT

где T = 2π√(LС). Для нахождения периода колебаний используем закон сохранения и превращения энергии. При незатухающих ко­лебаниях максимальная энергия магнитного поля равна максималь­ной энергии электрического поля и равна полной энергии электро­магнитных колебаний в контуре, т. е.

Wэл.м=Wмаг.м=W;

отсюда

qм2/2С=LIм2/2 и LC=q м2 / Iм2  

Тогда Т =2π(q м/ Iм)

Находим длину электромагнитной волны:

Зная индуктивность контура, находим емкость конденсатора:

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре равна сумме мгновенных значений энергии электрического и магнитного полей и, при отсутствии затухания колебаний, есть величина постоянная:

где

Следовательно,

Подставляя числовые значения, находим энергию электрического поля для данного момента времени:

Энергия электрического поля определяется по формуле Wэл=CU2/2. Получаем

откуда находим мгновенное зна­чение напряжения U на конденсаторе:

Ответ. Длина электромагнитной волны 38 м; емкость конденса­тора 2,0*10-9 Ф; мгновенное значение энергии электрического поля 2,5*10-7 Дж; мгновенное напряжение 5,0 В.

Лекция 10. Механические колебания

ГОСТ 24346-80 «Вибрация. Термины и определения» определяет вибрацию как «движение точки или механической системы, при котором происходят колебания характеризующих его скалярных величин». Колебания скалярной величины объясняются как «процесс поочередного возрастания и убывания во времени значений какой-либо величины».

Под это определение попадают множество колебательных процессов, начиная с вращения планет вокруг Солнца, заканчивая колебаниями электронов на орбитах движения вокруг ядра. Световые волны, которые позволяют нам видеть, имеют колебательную природу. Морские приливы также являются колебаниями. Окружающий мир, во многом состоит из колебаний.

Вибрация для механического оборудования может быть:

• полезной – для вибрационных грохотов, бетоноуплотнительных машин, разгрузочных вибраторов железнодорожных вагонов, вибрационных трамбовок, виброшлифовальных машин и другой вибрационной техники;
• разрушительной – для механизмов роторного типа, транспортной техники, двигателей внутреннего сгорания и электрических двигателей, металлообрабатывающего оборудования, металлургических машин, зданий и сооружений и др.;
• источником информации о техническом состоянии‑этот информационный аспект составляет основу вибрационной диагностики и данного учебника.

Необходимость измерения вибрации машин возникла во второй половине XIX века. Это связано с появлением паровых судов, имеющих лёгкие по сравнению с наземными сооружениями конструкции и мощные приводные машины.

Возникновение вибрации всегда неприятно для экипажа и пассажиров. Последствия вибрации – аварии из-за поломок деталей механизмов, значительно снижали доверие к этому новому, в то время виду транспорта.

Часто интенсивные колебания наблюдались в подвижном составе развивающегося железнодорожного транспорта.

Вначале, для регистрации вибрации использовались органолептические методы, основанные на визуальных или тактильных ощущениях. Значения параметров вибрации субъективно оценить затруднительно.

При возможности сравнительного анализа точность оценки амплитуды вибрации не превышает 20%. Абсолютная оценка всегда содержит грубые ошибки из-за нераспознанного спектрального состава вибрации.

В высокочастотном диапазоне возможности человека по восприятию вибрации ограничены. Надёжным виброметром человек служить не может.

Наибольшая чувствительность при воздействии вибрации на человека наблюдается при частоте 100300 Гц. Распознать частоту колебаний практически невозможно, если эти колебания происходят с частотой свыше 5 Гц. Однако, человек ощущает дискомфорт, находясь рядом с машиной генерирующей частоты, совпадающие с резонансными частотами частей человеческого тела.

Если колебания настолько редки, что глаз различает каждое из них в отдельности, то частота определяется подсчётом полных колебаний за некоторый промежуток времени. С уменьшением размаха колебаний точность глазомерного восприятия уменьшается. Частота колебаний в диапазоне 25100 Гц позволяет различить малые амплитуды до 0,1 мм.

Подтверждением присутствия вибрации становились различные методы визуализации механических колебаний. Размах больших колебаний (5 мм и выше) можно определить по отбрасываемой объектом тени на экран в пучке параллельных либо расходящихся лучей.

Характер прямой линии, проведенной по бумаге, лежащей на корпусе механизма, позволяет качественно оценить частоту и интенсивность колебаний (рисунок 58а). При этом регистрируются колебания в направлении перпендикулярном направлению движения карандаша.

Скорость перемещения карандаша должна быть как можно более постоянной.

Часто, для измерения размаха виброперемещения машин и балансировочных станков применялись ручные виброметры с использованием индикатора часового типа (рисунок 58б). Размах колебаний вибрирующей поверхности, с которой соприкасается стержень индикатора, определяется по размаху колебаний стрелки индикатора. При сильных вибрациях такие виброметры быстро выходят из строя.

(а)

(б)

Рисунок 58 – Пример «ручной» записи механических колебаний (а), общий вид ручного виброметра с использованием индикатора перемещения часового типа (б)

В случае необходимости регистрации относительно больших амплитуд колебаний (0,510 мм) с точностью до 0,5 мм при малой частоте (1020 Гц) возможно применение мерного клина.

При вибрации, происходящей с частотой 8 Гц и выше в направлении перпендикулярном колебаниям (рисунок 59а), глаз сохраняет способность зрительного восприятия всех положений клина и четко видит точку пересечения крайних положений клина на расстоянии l от начала треугольника. Если размах колебаний s, высота клина h и основание L, то из подобия треугольников:

(а)	(б)
(в)	(г)

Рисунок 59 – Визуализация механических колебаний:
а) схема измерения амплитуды колебаний при помощи мерного клина; б, в) пример установки мерного клина на оборудовании; г) контроль уровня вибрации гидроагрегата при помощи монеты

Мерный клин (рисунок 59б) наклеивается на корпус диагностируемого механизма. Наличие пространственных компонентов вибрации, действующих перпендикулярно к измеряемой плоскости, может исказить результат. Поэтому мерный клин применяется главным образом для измерения прямолинейной вибрации, в частности колебаний: сит, грохотов, вибростендов и т.п.

Для сравнения размаха колебаний в вертикальной плоскости возможно использование мелких вспомогательных предметов. Различное поведение монет, гаек, шайб в различных местах механизма, сухого мелкого песка на горизонтальной поверхности поможет выявить узлы с наибольшей вибрацией. Характерный пример – установка монет на ребро (рисунок 59г).

Виды колебательных процессов

Вибрация‑ это механические колебания или повторяющееся движение объекта около положения равновесия. Вибрация тела вызывается силами возбуждения. Эти силы прикладываются к объекту извне или возникают внутри него.

Колебательные процессы следует разделить на стационарные и нестационарные. Нестационарные колебания разделяются на длительные, кратковременные и переходные. Пример переходного процесса ‑ вибрация механизма при разгоне или при остановке и выбеге.

Кратковременные процессы – подъём груза мостовым краном или перемещение крана.

Длительные нестационарные процессы соответствуют режиму работы прокатных клетей или скипового подъёмника доменной печи, когда нагрузка изменяется при выполнении технологических операций.

Стационарные процессы имеют постоянные во времени параметры. Общий уровень, распределение амплитуд и частот, составляющих вибрации для стационарных процессов остаются практически неизменными в кратковременном интервале – как минимум в течение нескольких часов. Данные процессы наиболее характерны для механизмов роторного типа.

Стационарные процессы подразделяются на периодические и случайные.

Периодические колебания представляют собой колебания, при которых каждое значение колеблющейся величины повторяется через равные интервалы времени – периоды (рисунок 60).

Рисунок 60 – Примеры периодических колебаний

Одним из видов периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону синуса или косинуса (рисунок 61):

Источник: https://eam.su/lekciya-10-mexanicheskie-kolebaniya.html

Свободные колебания. Пружинный маятник

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Fупр=-kx.

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

ma=-kx=mω02x.

Значит, получаем:

ω0=km.

Определение 4

Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T=2πω0=2πmk.

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

a(t)=x(t).

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=∆l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

Mупр=-xθ.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω0=xI, T=2πIx.

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/mehanicheskie-kolebanija/svobodnye-kolebanija-pruzhinnyj-majatnik/

Амплитуда, период, частота колебаний

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Источник: https://www.calc.ru/Amplituda-Period-Chastota-Kolebaniy.html